Читать онлайн учебники
на as6400825.ru

Учебник по физике для 10 класса
Термодинамика

       

§ 4.1. Системы с большим числом частиц и законы механики. Статистическая механика

  • К системам с очень большим числом частиц законы механики Ньютона непосредственно применять невозможно. Место механики Ньютона занимает статистическая механика. Она позволяет вычислять средние значения физических величин, которые регистрируются макроскопическими приборами.

Термодинамические параметры с микроскопической точки зрения

Как свойства, так и состояние макроскопического тела определяются характером взаимодействия и движения слагающих его частиц. Следовательно, значение любого термодинамического параметра должно быть каким-то образом связано с движением молекул или атомов тела.

Такая связь на качественном уровне была рассмотрена в § 3.1 на примере давления газа на стенку сосуда. Было показано, что манометр регистрирует среднюю по времени силу, действующую на единицу площади поверхности его мембраны со стороны молекул. Из-за того что ударов о стенку очень много, это среднее значение оказывается вполне определенной величиной, несмотря на небольшие колебания давления.

Давление газа в каждый момент зависит от координат и импульсов молекул газа. Оно изменяется со временем именно потому, что меняются эти величины. Давление как макроскопический параметр есть не что иное, как среднее по времени от некоторой функции координат и импульсов всех молекул газа.

Этот вывод носит общий характер: значения термодинамических параметров в состоянии термодинамического равновесия являются средними по времени от соответствующих этим параметрам функций координат и импульсов частиц, слагающих систему.

Системы из большого числа частиц и законы механики

Термодинамические параметры, которые и являются макроскопическими характеристиками состояния вещества, подлежащими определению, могут быть найдены путем усреднения по времени функций координат и импульсов всех частиц системы. Но для этого нужно знать зависимость координат и импульсов всех микрочастиц от времени, т. е. решить задачу о движении огромного числа частиц.

Движение молекул в классической (не квантовой) физике подчиняется законам механики Ньютона. Состояние системы из любого числа частиц полностью определяется заданием их координат и скоростей (или импульсов). Законы эти просты, однако они мало что могут дать, если их непосредственно применить к движению частиц, слагающих макротела, поскольку частиц очень много. Механика Ньютона хорошо приспособлена для описания движения небольшого числа тел. Но и в этом случае сравнительно простые силы вызывают движения, которые могут оказаться весьма сложными. Например, простые силы всемирного тяготения обусловливают очень сложные траектории планет, если учитывать не только притяжение их к Солнцу, но и взаимное влияние друг на друга.

Если же число движущихся частиц достигает миллионов, миллиардов и т. д., то чисто механический подход вообще теряет смысл. Можно тешить себя иллюзией, что в принципе, если было бы известно состояние системы (т. е. координаты и импульсы всех частиц системы) в начальный момент времени и заданы силы взаимодействия частиц друг с другом, можно было бы рассчитать движение частиц замкнутой системы с любой степенью точности. Однако сама постановка задачи (определение начальных положений и импульсов частиц) не менее трудна, чем ее решение. В этой ситуации не помогут никакие вычислительные машины.

Известно, например, что газ, взятый в объеме 1 см3, при нормальных условиях содержит около 1019 молекул; для задания их начального состояния необходимо 6 • 1019 чисел. Если вводить в ЭВМ по тысяче чисел в 1 с, то потребуется около 2 • 109 лет. Кроме того, ведь ни одна система не может считаться полностью изолированной от внешних воздействий. Они всегда есть. По подсчетам французского ученого Э. Бореля, изменение координат и скоростей молекул на величину порядка 10-100 делает невозможным предсказание движения молекул газа уже спустя 10-6 с. А ведь такое изменение координат и скоростей молекул газа может произойти, если на Сириусе 1 г вещества переместится на 1 см.

Статистическая механика

Трудности создания количественной теории процессов, происходящих внутри макроскопических тел, на основе представления о движении молекул кажутся на первый взгляд непреодолимыми. Однако задача исследования систем из огромного числа частиц все же поддается решению. Поведение таких систем обнаруживает определенные закономерности. Но это уже закономерности нового типа, закономерности статистической механики, или статистической физики.

Оказывается, что для описания свойств макроскопических тел и процессов с их участием, которые наблюдаются на опыте, не нужно знать микроскопическое состояние системы (значения всех координат и импульсов частиц). Важно знать не поведение отдельных молекул, а средний результат, к которому приводит их совокупное движение. Этот средний результат и можно предвидеть с помощью законов статистической механики.

Очевидно, каждому микроскопическому состоянию отвечает определенное макроскопическое состояние (определенные значения макроскопических параметров). Однако одному и тому же макроскопическому состоянию может отвечать огромное число микроскопических состояний. Например, ни давление, ни температура газа в состоянии термодинамического равновесия не меняются, но молекулы, из которых состоит газ, непрерывно движутся, микроскопические состояния системы непрерывно сменяют друг друга.

Средние по времени и статистические средние

Перед статистической механикой стоит задача определения средних значений любых функций координат и скоростей молекул без вычисления зависимости этих величин от времени. Посмотрим, как в принципе можно решить эту задачу на примере вычисления среднего значения квадрата скорости v2 молекулы газа, от которого зависит ее средняя кинетическая энергия (знак «∼» сверху означает усреднение по времени).

Допустим, что в сосуде с газом, температура которого поддерживается постоянной, имеется достаточно большое число N молекул. Выделим мысленно одну из них. Если произвести ряд последовательных измерений скорости данной молекулы в моменты времени t1, t2, t3 и т. д. через малые одинаковые промежутки времени (рис. 4.1, а), проделав достаточно большое число N1 измерений (в принципе это возможно), то среднее по времени значение квадрата скорости можно записать так:

Это простое арифметическое среднее.

Рис. 4.1

Далее очевидно, что все N молекул газа находятся в одинаковых макроскопических условиях. Ни одна из них не выделяется в смысле характера своего поведения среди других. Поэтому средний квадрат скорости газовой молекулы можно определить и по-другому. Пусть одновременно измерены скорости v1, v2, ..., vn всех молекул (рис. 4.1, б). Тогда средний квадрат скорости молекулы равен среднему арифметическому квадратов скоростей всех молекул газа в данный момент:

Определенное так среднее значение квадрата скорости называется статистическим средним (или средним по совокупности) в отличие от среднего по времени значения квадрата скорости .

Основное допущение, которое принимается в статистической механике, состоит в том, что среднее по времени совпадает со статистическим средним. В рассмотренном простом случае такое допущение представляется достаточно естественным. Оно предполагает полный хаос в движении молекул, когда все они в общем ведут себя одинаково. Теория строится так, чтобы она позволяла определять статистические средние, так как задача непосредственного вычисления временных средних заведомо невыполнима.

Два этапа становления статистической механики (молекулярно-кинетической теории)

В первых исследованиях принималось в качестве приближения, что все молекулы имеют одинаковые модули скоростей, равные их средним значениям. С помощью этих средних скоростей вычислялось среднее число соударений молекул в секунду, средняя длина свободного пробега и т. д.

Решительный шаг вперед был сделан в 1859 г. английским физиком Дж. Максвеллом (1831—1879), который впервые ввел в физику понятие вероятности, выработанное ранее при анализе азартных игр.

До Максвелла казалось, что единственной альтернативой предположения о равенстве скоростей их средним значениям является строгое решение уравнений Ньютона для всех частиц системы.

Введение вероятности позволило наряду со средними значениями физических величин рассматривать вероятности того, что эти величины принимают те или иные значения. В дальнейшем понятие вероятности стало основным для любого статистического закона.

Мы в основном ограничимся знакомством с элементарными вычислениями средних значений. Лишь во второй части главы на простом примере познакомимся с вероятностными законами статистической механики.

Теперь вы знаете, как определяются средние значения, в частности средний квадрат скорости молекул. Это непростой вопрос. Вы привыкли к тому, что скорость имеет каждая частица. Средняя же скорость молекул зависит от движения всех частиц.

Рейтинг@Mail.ru
Рейтинг@Mail.ru